Descomplicando os Números Complexos!

Os números complexos a primeira podem até parecer um bicho de sete cabeças e chegar a ser intimidador, mas na verdade por trás desse nome reside um conceito matemático extremamente útil, com aplicações que permeiam diversas áreas do conhecimento e do cotidiano, revelando-se ferramenta matemática poderosa e versátil.

Neste artigo vamos explorar a definição dos números complexos, suas aplicações práticas e apresentar softwares e ferramentas digitais que facilitam sua compreensão, demonstrando que este tópico, muitas vezes considerado abstrato, possui conexões concretas com nosso cotidiano e pode ser abordado de maneira acessível.

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O QUE SÃO OS NÚMEROS COMPLEXOS?

Desde os primeiros anos da escola somos apresentados aos números reais, que são aqueles que podem ser representados em uma reta numérica infinita. Contudo, os números reais não são suficientes para solucionar todas as equações matemáticas, especificamente as equações que possuem raízes de números negativos.

É nesse momento que os números complexos surgem para solucionar estas equações matemáticas e dar sentido à raiz quadrada de números negativos.

Com isso introduzimos a unidade imaginária, denotada pela letra i, definida como i² = −1.

Um número complexo, em sua forma padrão, é expresso como z=a+bi, onde:

• a é a parte real do número complexo e indicada por Re(z).
• b é a parte imaginária do número complexo e indicada por Im(z).
• i é a unidade imaginária, com i² = −1.

A partir dessa notação, as equações que antes não tinham solução dentro dos números reais passam a ser resolvidas com os números complexos. Por exemplo, a equação x² + 1 = 0 não possui raízes reais, mas admite duas soluções dentro dos números complexos que são x = i e x = -i.

O vídeo “Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction]” do canal Welch Labs apresenta o conceito de números complexos de forma acessível e visual. Este vídeo é o primeiro de uma série que explora os números complexos e suas aplicações.

Caso queira se aprofundar, é recomendável assistir aos episódios da série “Imaginary Numbers Are Real” disponível no YouTube neste link.

Neste vídeo, os principais pontos que merecem destaque são:

• O vídeo começa com a questão de como resolver a raiz quadrada de -1, uma operação que não possui solução no conjunto dos números reais.
• Apresenta que existe uma limitação do sistema numérico unidimensional (reta númerica real), que comumente é apresentada como contínua e onde todos os números estão localizados.
• Para lidar com esse problema, é introduzido o número imaginário i, definido como a raiz quadrada de -1.
• Utiliza animações para representar graficamente os números complexos, mostrando como eles se comportam em um plano bidimensional.
• Buscando resolver o problema da limitação do sistema numérico unidimensional, por meio de animações, propõe a inclusão de uma dimensão composta por um novo eixo perpendicular relacionado à raiz quadrada de −1(i).
• Essa nova dimensão reflete a ideia de que os números complexos ocupam um plano bidimensional, chamado de Plano de Argand-Gauss.
• Para complementar a explicação dos números complexos, recorre ao Teorema Fundamental da Álgebra, proposto por Carl Friedrich Gauss, que afirma que toda equação polinomial de grau n deve ter exatamente n raízes.

No Plano de Argand-Gauss, a função x² + 1 = 0 passa a ter duas raízes claramente visíveis, estando de acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra. Nas imagens a seguir podemos o ver no Plano de Argand-Gauss e o comportamento dessa função e suas raízes.

APLICAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Embora pareça um conceito abstrato, o uso de números complexos está presente e possui aplicações em diversas áreas.

• Engenharia Elétrica e Eletrônica: os números complexos facilitam o cálculo de impedâncias e analisam o comportamento de sistemas elétricos em circuitos de corrente alternada.
• Processamento de Sinais: na comunicação e do processamento digital de sinais, a aplicação de números complexos são fundamentais pois possibilita a compressão de dados, filtragem de ruídos e análise de imagens.
• Engenharia Aeronáutica: na aerodinâmica utilizamos os números complexos para modelar o fluxo de ar ao redor das asas de aviões e projetar design de aeronaves mais eficientes.

DICAS DE SOFTWARES E PLATAFORMAS ON-LINE QUE AUXILIAM NO ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS

A seguir deixamos algumas sugestões de softwares e plataformas on-line que podem ajudar no ensino de números complexos, tornando o aprendizado mais visual, interativo e compreensível.

• Khan Academy: possui curso abrangente de Álgebra com vídeos explicativos, exercícios interativos sobre todos os aspectos dos números complexos.
• Desmos: possui módulo exclusivo para trabalhar com números complexos, incluindo funções para parte real, imaginária, conjugado, argumento e módulo, plotagem no plano complexo, operações aritméticas visuais, variáveis complexas arrastáveis.
• GeoGebra: permite a entrada de números complexos com ‘i’, inclui funções para representar como pontos, conjugado, argumento e módulo, operações aritméticas, além de poder encontrar diversos applets compartilhados por outras pessoas.
• Wolfram Alpha: possui suporte para trabalhar com números complexos, inclui funções para representar a parte real, imaginária, conjugado, argumento e módulo.

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Quer saber um pouco mais sobre os softwares e plataformas on-line citados? Confira nossa página dedicada ao GeoGebra, ao Desmos, ao Wolfram Alpha e a Khan Academy, e também acesse o site oficial do GeoGebra, do Desmos, do Wolfram Alpha e da Khan Academy para mais informações.

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Referências:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. Números complexos. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm. Acesso em 26 de maio de 2025.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Aplicação dos Números Complexos. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/aplicacao-dos-numeros-complexos.htm. Acesso em: 26 maio 2025.